data/105.json
{
"definitions" : {
"z" : [ {
"Q11567" : "complex number"
} ],
"k" : [ {
"Q44917388" : "index of summation",
"Q28920044" : "positive integer"
} ]
},
"constraints" : [ "|z| < 1", "k > 0" ],
"math_inputtex" : "\\[\\ln\\left(1+z\\right)=z-\\frac{z^{2}}{2}+\\frac{z^{3}}{3}-\\cdots,\\]",
"math_inputtex_semantic" : "\\ln@{1+\\w{Q11567}{z}} = \\Sum{\\w{Q28920044}{k}}{1}{\\infty}@{\\opminus^{k-1} \\frac{z^k}{k}}",
"correct_tex" : "\\ln\\left(1+z\\right)=z-\\frac{z^{2}}{2}+\\frac{z^{3}}{3}-\\cdots",
"correct_mml" : "<math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" id=\"p1.1.m1.1\" class=\"ltx_Math\" alttext=\"\\ln@{1+z}=\\Sum{k}{1}{\\infty}@{(-1)^{k-1}\\frac{z^{k}}{k}}\" display=\"inline\">\n <semantics id=\"p1.1.m1.1a\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.4.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.8.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mpadded width=\"-1.7pt\" id=\"p1.1.m1.1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\">ln</mi>\n </mpadded>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.8.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.8.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.1.6.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.1.cmml\">1</mn>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.6.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.2.cmml\">+</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.6.3\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.3.cmml\">z</mi>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.2.cmml\">=</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.5\" xref=\"p1.1.m1.1.3.1.cmml\">\n <msubsup id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml\">\n <mo largeop=\"true\" symmetric=\"true\" id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.1.1.cmml\">∑</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.3.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.3.1.1.cmml\">k</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.3.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.1.1.cmml\">=</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.3.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.3.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n <mi mathvariant=\"normal\" id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.4.1.cmml\">∞</mi>\n </msubsup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.5a\" xref=\"p1.1.m1.1.3.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.4\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.cmml\">\n <msup id=\"p1.1.m1.1.3.4.8\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.8.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.4.8.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.8.2.2.cmml\">\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.8.2.2.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.4.8.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.8.2.2.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.4.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.2.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.3.4.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.4\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.8.2.2.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.1.cmml\">k</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.2.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </msup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.4.7\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.7.cmml\"></mo>\n <mfrac id=\"p1.1.m1.1.3.4.6\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6.cmml\">\n <msup id=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2.1.cmml\">z</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2.2.1.cmml\">k</mi>\n </msup>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3.4.6.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6.3.cmml\">k</mi>\n </mfrac>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <annotation-xml encoding=\"MathML-Content\" id=\"p1.1.m1.1b\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.8.2\">\n <ln id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.2\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.1.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6\">\n <plus id=\"p1.1.m1.1.1.6.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.2\"/>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.1.6.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.1\">1</cn>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.6.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.3\">Q11567</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.5\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.6\">\n <csymbol cd=\"dlmf\" id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.2\">semantic-sum</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.3.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.3.1.1\">Q28920044</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.3.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.3.1.3\">1</cn>\n <infinity id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.4.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.4.1\"/>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.3.4.7.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.7\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.8.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.8\">\n <power xref=\"p1.1.m1.1.3.4.8\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.8.2.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.8.2\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.3.4.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.2\"/>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.3\">1</cn>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.1\">Q28920044</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.5.1.3\">1</cn>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6\">\n <divide id=\"p1.1.m1.1.3.4.6.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2\">\n <power xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2.1\">Q11567</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6.2.2.1\">Q28920044</csymbol>\n </apply>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.6.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.6.3\">Q28920044</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </annotation-xml>\n <annotation encoding=\"application/x-tex\" id=\"p1.1.m1.1c\">\\ln@{1+z}=\\Sum{k}{1}{\\infty}@{(-1)^{k-1}\\frac{z^{k}}{k}}</annotation>\n </semantics>\n</math>",
"uri" : "http://dlmf.nist.gov/1.10#E3",
"title" : "DLMF:_1.10_Functions_of_a_Complex_Variable",
"comment" : "This equation originally not contains the infinity sum. It was written with \\cdots. Note that there exists a special macro to describe such infinity sums developed by Moritz Schubotz.",
"type" : "equation",
"substitutions" : { },
"specific_title" : "Taylor’s Theorem for Logarithm"
}