data/108.json
{
"definitions" : {
"n" : [ {
"Q28920052" : "non-negative integer",
"Q2303886" : "index"
} ],
"k" : [ "index of multiplication", {
"Q2303886" : "index",
"Q28920044" : "positive integer"
} ],
"A_n" : [ "n-th (canonical) numerator", {
"Q11567" : "complex number"
} ],
"B_n" : [ "n-th (canonical) denominator", {
"Q11567" : "complex number"
} ],
"a_k" : [ "k-th numerator in a continued fraction", {
"Q2279584" : "numerator",
"Q11567" : "complex number"
} ]
},
"constraints" : [ ],
"math_inputtex" : "\\[A_{n}B_{n-1}-B_{n}A_{n-1}=(-1)^{n-1}\\prod^{n}_{k=1}a_{k},\\]",
"math_inputtex_semantic" : "\\w{Q11567}{A}_{\\w{Q28920052}{n}} \\w{Q11567}{B}_{n-1} - B_n A_{n-1} = \\opminus^{n-1} \\Prod{\\w{Q28920052}{k}}{1}{n}@{\\w{Q11567}{a}_k}",
"correct_tex" : "A_{n}B_{n-1}-B_{n}A_{n-1}=(-1)^{n-1}\\prod^{n}_{k=1}a_{k}",
"correct_mml" : "<math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" id=\"p1.1.m1.1\" class=\"ltx_Math\" alttext=\"A_{n}B_{n-1}-B_{n}A_{n-1}=(-1)^{n-1}\\Prod{k}{1}{n}@{a_{k}}\" display=\"inline\">\n <semantics id=\"p1.1.m1.1a\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.17\" xref=\"p1.1.m1.1.17.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.17.1\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.17.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.1.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.17.1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.1.2.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.cmml\">A</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1.cmml\">n</mi>\n </msub>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.17.1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.1.1.cmml\"></mo>\n <msub id=\"p1.1.m1.1.17.1.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.1.3.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.cmml\">B</mi>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.4.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.1.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.2.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.4.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.5.cmml\">-</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.17.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.2.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.17.1.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.2.2.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.6.cmml\">B</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.7.1\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\">n</mi>\n </msub>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.17.1.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.2.1.cmml\"></mo>\n <msub id=\"p1.1.m1.1.17.1.2.3\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.2.3.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.8\" xref=\"p1.1.m1.1.8.cmml\">A</mi>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.9.1\" xref=\"p1.1.m1.1.9.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.9.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.9.1.1.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.9.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.9.1.2.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.9.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.9.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </msub>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10\" xref=\"p1.1.m1.1.10.cmml\">=</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.17.2\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2.cmml\">\n <msup id=\"p1.1.m1.1.17.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2.2.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.17.2.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2.2.2.2.cmml\">\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.11\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2.2.2.2.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.17.2.2.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2.2.2.2.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.12\" xref=\"p1.1.m1.1.12.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.13\" xref=\"p1.1.m1.1.13.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.14\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2.2.2.2.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.15.1\" xref=\"p1.1.m1.1.15.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.15.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.15.1.1.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.15.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.15.1.2.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.15.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.15.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </msup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.17.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.16.5\" xref=\"p1.1.m1.1.16.1.cmml\">\n <msubsup id=\"p1.1.m1.1.16.2.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.16.2.1.1.cmml\">\n <mo largeop=\"true\" symmetric=\"true\" id=\"p1.1.m1.1.16.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.16.2.1.1.1.cmml\">∏</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.16.2.1.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.16.2.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.16.2.1.3.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.16.2.1.3.1.1.cmml\">k</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.16.2.1.3.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.16.2.1.1.1.cmml\">=</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.16.2.1.3.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.16.2.1.3.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.16.2.1.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.16.2.1.4.1.cmml\">n</mi>\n </msubsup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.16.5a\" xref=\"p1.1.m1.1.16.1.cmml\"></mo>\n <msub id=\"p1.1.m1.1.16.4\" xref=\"p1.1.m1.1.16.4.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.16.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.16.4.1.cmml\">a</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.16.4.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.16.4.2.1.cmml\">k</mi>\n </msub>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <annotation-xml encoding=\"MathML-Content\" id=\"p1.1.m1.1b\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.17.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.10.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.17.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.5.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.17.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.1\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.17.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.1.1\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.17.1.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.1.2\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1\">Q11567</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1\">Q28920052</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.17.1.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.1.3\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3\">Q11567</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.4.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.4.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.4.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.1\">Q28920052</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.4.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.3\">1</cn>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.17.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.2\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.17.1.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.2.1\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.17.1.2.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.2.2\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6\">Q11567</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1\">Q28920052</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.17.1.2.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.1.2.3\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.8.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8\">Q11567</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.9.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.9.1\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.9.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.9.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.9.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.9.1.1\">Q28920052</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.9.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.9.1.3\">1</cn>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.17.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.17.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2.1\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.17.2.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2.2\">\n <power id=\"p1.1.m1.1.17.2.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2.2\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.17.2.2.2.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.17.2.2.2\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.12.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.12\"/>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.13.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.13\">1</cn>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.15.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.1\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.15.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.15.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.1.1\">Q28920052</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.15.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.1.3\">1</cn>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.16.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.16.5\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.16.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.16.2.1.6\">\n <csymbol cd=\"dlmf\" id=\"p1.1.m1.1.16.2.1.1.1.cmml\" 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"uri" : "http://dlmf.nist.gov/1.12#E7",
"title" : "DLMF:_1.12_Continued_Fractions",
"type" : "equation",
"check" : {
"tree" : true,
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"substitutions" : { },
"specific_title" : "Determinant Formula"
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