data/116.json
{
"definitions" : {
"n" : [ {
"Q1413083" : "parameter",
"Q12503" : "integer"
} ],
"m" : [ {
"Q12503" : "integer"
} ],
"x" : [ {
"Q11567" : "complex number"
} ],
"k" : [ {
"Q44917388" : "index of summation",
"Q28920052" : "non-negative integer"
} ]
},
"constraints" : [ ],
"math_inputtex" : "\\[B_{n}\\left(mx\\right)=m^{n-1}\\sum_{k=0}^{m-1}B_{n}\\left(x+\\frac{k}{m}\\right).\\]",
"math_inputtex_semantic" : "\\wf{Q11348}{\\BernoullipolyB{\\w{Q12503}{n}}}@{\\w{Q12503}{m}\\w{Q11567}{x}} = m^{n-1} \\Sum{\\w{Q28920052}{k}}{0}{m-1}@{\\BernoullipolyB{n}@{x+\\frac{k}{m}}}",
"correct_tex" : "B_{n}\\left(mx\\right)=m^{n-1}\\sum_{k=0}^{m-1}B_{n}\\left(x+\\frac{k}{m}\\right)",
"correct_mml" : "<math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" id=\"p1.1.m1.1\" class=\"ltx_Math\" alttext=\"\\BernoullipolyB{n}@{mx}=m^{n-1}\\Sum{k}{0}{m-1}@{\\BernoullipolyB{n}@{x+\\frac{k}% {m}}}\" display=\"inline\">\n <semantics id=\"p1.1.m1.1a\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.6.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.8.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mpadded width=\"-1.7pt\" id=\"p1.1.m1.1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml\">B</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.cmml\">n</mi>\n </msub>\n </mpadded>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.8.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.8.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.6.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.1.cmml\">m</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.6.3\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.3.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.6.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.2.cmml\">x</mi>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.2.cmml\">=</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.cmml\">\n <msup id=\"p1.1.m1.1.6.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.cmml\">m</mi>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.4.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.1.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.2.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.4.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </msup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.5.5\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.cmml\">\n <msubsup id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml\">\n <mo largeop=\"true\" symmetric=\"true\" id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.1.1.cmml\">∑</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.3.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.3.1.1.cmml\">k</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.3.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.1.1.cmml\">=</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.3.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.3.1.3.cmml\">0</mn>\n </mrow>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.1.cmml\">m</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.2.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </msubsup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5.5a\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.8.2\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.1.cmml\">\n <mpadded width=\"-1.7pt\" id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.1.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.1.1.cmml\">B</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.3.1.cmml\">n</mi>\n </msub>\n </mpadded>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.8.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.8.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.1.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.1\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.1.cmml\">x</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.2\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.2.cmml\">+</mo>\n <mfrac id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3.2\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3.2.cmml\">k</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3.3\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3.3.cmml\">m</mi>\n </mfrac>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <annotation-xml encoding=\"MathML-Content\" id=\"p1.1.m1.1b\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.8.2\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2\">\n <csymbol cd=\"dlmf\" id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.2\">Bernoulli-polynomial-B</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1\">Q12503</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.1.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.1.6.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.3\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.6.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.1\">Q12503</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.6.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.2\">Q11567</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.6.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.1\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2\">\n <power id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3\">Q12503</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.4.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.4.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.4.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.1\">Q12503</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.4.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.3\">1</cn>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.5.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.5\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.6\">\n <csymbol cd=\"dlmf\" id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.2\">semantic-sum</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.3.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.3.1.1\">Q28920052</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.3.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.3.1.3\">0</cn>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.1\">Q12503</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.2.1.4.1.1.3\">1</cn>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.8.2\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2\">\n <csymbol cd=\"dlmf\" id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.2\">Bernoulli-polynomial-B</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.3.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.2.1.3.1\">Q12503</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6\">\n <plus id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.1\">Q11567</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3\">\n <divide id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3.2\">Q28920052</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.4.1.6.3.3\">Q12503</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </annotation-xml>\n </semantics>\n</math>",
"uri" : "http://dlmf.nist.gov/24.4#E18",
"title" : "DLMF:_24.4_Basic_Properties",
"type" : "equation",
"check" : {
"tree" : true,
"qid" : false
},
"substitutions" : { }
}