data/134.json
{
"definitions" : {
"n" : [ {
"Q28920052" : "non-negative number"
} ],
"k" : [ {
"Q28920052" : "non-negative number"
} ],
"h" : [ {
"Q44917388" : "index of summation",
"Q28920052" : "non-negative integer"
} ],
"A_k(n)" : [ {
"Q50700" : "coefficient",
"Q11348" : "function"
} ],
"f(h,k)" : [ {
"Q11348" : "function"
} ]
},
"constraints" : [ ],
"math_inputtex" : "\\[A_{k}(n)=\\sum_{\\begin{subarray}{c}1<h\\leq k\\\\\n\\left(h,k\\right)=1\\end{subarray}}{\\mathrm{e}^{\\pi\\mathrm{i}f(h,k)-(2\\pi\\mathrm%\n{i}nh/k)}},\\]",
"math_inputtex_semantic" : "\\wf{Q11348}{A}_{\\w{Q28920052}{k}}(\\w{Q28920052}{n}) = \\sum_{\\substack{1 < \\w{Q28920052}{h} \\leq k \\pgcd{h,k} = 1}}\\expe^{\\cpi \\iunit \\wf{Q11348}{f}(h,k)-(2\\cpi \\iunit n \\ifrac{h}{k})}",
"correct_tex" : "A_{k}(n) = \\sum_{1 < h \\leq k(h,k) = 1} {\\mathrm{e}^{\\pi\\mathrm{i}f(h,k)-(2\\pi\\mathrm{i}nh/k)}}",
"correct_mml" : "<math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" id=\"p1.1.m1.1\" class=\"ltx_Math\" alttext=\"A_{k}(n)=\\sum_{\\begin{subarray}{c}1<h\\leq k\\pgcd{h,k}=1\\end{subarray}}e^{\\pi if% (h,k)-(2\\pi in\\ifrac{h}{k})}\" display=\"inline\">\n <semantics id=\"p1.1.m1.1a\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.11\" xref=\"p1.1.m1.1.11.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.11.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.11.1.1.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.11.1.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.11.1.2.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.cmml\">A</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1.cmml\">k</mi>\n </msub>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.11.1.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.11.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.11.1.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.11.1.1.cmml\">\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.11.1.1.cmml\">(</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.4.cmml\">n</mi>\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.11.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.6.cmml\">=</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.11.2\" xref=\"p1.1.m1.1.11.2.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.11.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.11.2.1.cmml\">\n <mo largeop=\"true\" symmetric=\"true\" id=\"p1.1.m1.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.7.cmml\">∑</mo>\n <mtable class=\"ltx_align_c\" id=\"p1.1.m1.1.8.1\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.cmml\">\n <mtr id=\"p1.1.m1.1.8.1a\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.cmml\">\n <mtd id=\"p1.1.m1.1.8.1b\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.1.cmml\">1</mn>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.2.cmml\"><</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.3.cmml\">h</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.4.cmml\">≤</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.10\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.10.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.5.cmml\">k</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.10.1\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.10.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.5\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.2\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.4.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml\">h</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.2\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.4.cmml\">,</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.3\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.3.cmml\">k</mi>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.4\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.7.cmml\">=</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.8\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.8.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </msub>\n <msup id=\"p1.1.m1.1.11.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.11.2.2.cmml\">\n <mi mathvariant=\"normal\" id=\"p1.1.m1.1.9\" xref=\"p1.1.m1.1.9.cmml\">e</mi>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.10.1\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.10.1.17\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.10.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.1.cmml\">π</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10.1.17.1\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17.1.cmml\"></mo>\n <mi mathvariant=\"normal\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.2.cmml\">i</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10.1.17.1a\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.10.1.17.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17.2.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.10.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.3.cmml\">f</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10.1.17.2.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17.2.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.10.1.17.2.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17.2.1.cmml\">\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17.2.1.cmml\">(</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.10.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.5.cmml\">h</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17.2.1.cmml\">,</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.10.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.7.cmml\">k</mi>\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.8\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17.2.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10.1.9\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.9.cmml\">-</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.10.1.18\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.cmml\">\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.10\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.10.1.11\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.11.cmml\">2</mn>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.1.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.10.1.12\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.12.cmml\">π</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.1a\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.1.cmml\"></mo>\n <mi mathvariant=\"normal\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.13\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.13.cmml\">i</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.1b\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.1.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.10.1.14\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.14.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.1c\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.10.1.15\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.15.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.10.1.15.2\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.15.2.cmml\">h</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10.1.15.1\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.15.1.cmml\">/</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.10.1.15.3\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.15.3.cmml\">k</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.16\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </msup>\n </mrow>\n </mrow>\n <annotation-xml encoding=\"MathML-Content\" id=\"p1.1.m1.1b\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.11.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.11\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.11.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.11.1.2\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.11.1.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.11.1.2.1\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.11.1.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.11.1.2.1\">subscript</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1\">Q11348</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1\">Q28920052</csymbol>\n </apply>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4\">Q28920052</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.11.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.11.2\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.11.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.11.2.1\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.11.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.11.2.1\">subscript</csymbol>\n <sum id=\"p1.1.m1.1.7.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.7\"/>\n <matrix id=\"p1.1.m1.1.8.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1\">\n <matrixrow id=\"p1.1.m1.1.8.1a.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1\">\n <and id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1a.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1b.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1\">\n <lt id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.2\"/>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.1\">1</cn>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.3\">Q28920052</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1c.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1\">\n <leq id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.4\"/>\n <share href=\"#p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.3.cmml\" id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1d.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.10.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.10\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.10.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.10.1\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.5.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.5\">Q28920052</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.5\">\n <gcd id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.2\"/>\n <list id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.1\">Q28920052</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.6.3.3\">Q28920052</csymbol>\n </list>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1e.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.7.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.7\"/>\n <share href=\"#p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.10.cmml\" id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1f.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1\"/>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.8.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.1.1.1.1.8\">1</cn>\n </apply>\n </apply>\n </matrixrow>\n </matrix>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.11.2.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.11.2.2\">\n <power xref=\"p1.1.m1.1.11.2.2\"/>\n <exponentiale id=\"p1.1.m1.1.9.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.9\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.10.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.10.1.9.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.9\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.10.1.17.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.10.1.17.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17.1\"/>\n <pi id=\"p1.1.m1.1.10.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.1\"/>\n <imaginaryi id=\"p1.1.m1.1.10.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.2\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.10.1.17.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.17.2.2\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.3\">Q11348</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.5.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.5\">Q28920052</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.7.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.7\">Q28920052</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.18\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.18.2.1\"/>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.11.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.11\">2</cn>\n <pi id=\"p1.1.m1.1.10.1.12.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.12\"/>\n <imaginaryi id=\"p1.1.m1.1.10.1.13.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.13\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.14.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.14\">Q28920052</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.10.1.15.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.15\">\n <divide id=\"p1.1.m1.1.10.1.15.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.15.1\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.15.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.15.2\">Q28920052</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.15.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.15.3\">Q28920052</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </annotation-xml>\n <annotation encoding=\"application/x-tex\" id=\"p1.1.m1.1c\">A_{k}(n)=\\sum_{\\begin{subarray}{c}1<h\\leq k\\pgcd{h,k}=1\\end{subarray}}e^{\\pi if%\n(h,k)-(2\\pi in\\ifrac{h}{k})}</annotation>\n </semantics>\n</math>",
"uri" : "http://dlmf.nist.gov/26.10#E18",
"title" : "DLMF:_26.10_Integer_Partitions:_Other_Restrictions",
"type" : "definition",
"substitutions" : { }
}