data/135.json
{
"definitions" : {
"n" : [ {
"Q28920052" : "non-negative integer"
} ],
"m" : [ {
"Q28920052" : "non-negative integer"
} ],
"m!" : [ {
"Q120976" : "factorial"
} ],
"k" : [ {
"Q44917388" : "index of summation",
"Q28920052" : "non-negative integer"
} ]
},
"constraints" : [ ],
"math_inputtex" : "\\[S\\left(n,m\\right)=\\frac{1}{m!}\\sum_{k=0}^{n-1}\\genfrac{<}{>}{0.0pt}{}{n}{k}%\n\\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{k}{n-m},\\]",
"math_inputtex_semantic" : "\\wf{Q11348}{\\StirlingnumberS}@{\\w{Q28920052}{n}}{\\w{Q28920052}{m}} = \\frac{1}{m!} \\Sum{\\w{Q28920052}{k}}{0}{n-1}@{\\Euleriannumber{n}{k} \\binom{k}{n-m}}",
"correct_tex" : "S\\left(n,m\\right)=\\frac{1}{m!}\\sum_{k=0}^{n-1} \\langle \\frac{n}{k} \\rangle \\frac{k}{n-m}",
"correct_mml" : "<math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" id=\"p1.1.m1.1\" class=\"ltx_Math\" alttext=\"\\StirlingnumberS@{n}{m}=\\frac{1}{m!}\\Sum{k}{0}{n-1}@{\\Euleriannumber{n}{k}% \\binom{k}{n-m}}\" display=\"inline\">\n <semantics id=\"p1.1.m1.1a\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.5.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.10.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mpadded width=\"-1.7pt\" id=\"p1.1.m1.1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\">S</mi>\n </mpadded>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.10.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.10.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">(</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">,</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.8\" xref=\"p1.1.m1.1.1.8.cmml\">m</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.9\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.2.cmml\">=</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.5.1\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.cmml\">\n <mfrac id=\"p1.1.m1.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.3.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.cmml\">1</mn>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.3.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.3.1.cmml\">m</mi>\n <mo lspace=\"0pt\" rspace=\"3.5pt\" id=\"p1.1.m1.1.3.3.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.3.2.cmml\">!</mo>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.4.5\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.cmml\">\n <msubsup id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.1.cmml\">\n <mo largeop=\"true\" symmetric=\"true\" id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.1.1.cmml\">∑</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.1.cmml\">k</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.1.1.cmml\">=</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.3.cmml\">0</mn>\n </mrow>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.1.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.2.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </msubsup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4.5a\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.4.4\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.4.4.1.2.5\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.1.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4.4.1.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.1.1.1.cmml\">⟨</mo>\n <mfrac linethickness=\"0.0pt\" id=\"p1.1.m1.1.4.4.1.2.3\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.4.4.1.2.3.2\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.1.2.3.2.cmml\">n</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.4.4.1.2.3.3\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.1.2.3.3.cmml\">k</mi>\n </mfrac>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4.4.1.2.4\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.1.1.1.cmml\">⟩</mo>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4.4.3\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.3.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.5\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.2.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.2.1.1.cmml\">(</mo>\n <mfrac linethickness=\"0.0pt\" id=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.3\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.2.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.3.2\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.3.2.cmml\">k</mi>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.3.3\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.3.3.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.3.3.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.3.3.1.1.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.3.3.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.3.3.1.2.cmml\">-</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.3.3.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.3.3.1.3.cmml\">m</mi>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4.4.2.2.4\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4.2.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <annotation-xml encoding=\"MathML-Content\" id=\"p1.1.m1.1b\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.5.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.10.2\">\n <csymbol cd=\"dlmf\" id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.2\">Stirling-number-second-kind-S</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.6\">Q28920052</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.8.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.8\">Q28920052</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.5.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.5.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.1\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3\">\n <divide id=\"p1.1.m1.1.3.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3\"/>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.3.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2\">1</cn>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.3\">\n <factorial id=\"p1.1.m1.1.3.3.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.3.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.3.3.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.3.1\">Q28920052</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.4.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.5\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.6\">\n <csymbol cd=\"dlmf\" id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.2\">semantic-sum</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.1\">Q28920052</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.3\">0</cn>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.1\">Q28920052</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.2.1.4.1.1.3\">1</cn>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.4.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.4\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.4.4.3.cmml\" 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