data/139.json
{
"definitions" : {
"x" : [ {
"Q12916" : "real number",
"Q50701" : "variable"
} ]
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"constraints" : [ ],
"math_inputtex" : "\\[{\\operatorname{gd}^{-1}}\\left(x\\right)=\\ln\\tan\\left(\\tfrac{1}{2}x+\\tfrac{1}{4}%\n\\pi\\right)=\\ln\\left(\\sec x+\\tan x\\right)=\\operatorname{arcsinh}\\left(\\tan x%\n\\right)=\\operatorname{arccsch}\\left(\\cot x\\right)=\\operatorname{arccosh}\\left(%\n\\sec x\\right)=\\operatorname{arcsech}\\left(\\cos x\\right)=\\operatorname{arctanh}%\n\\left(\\sin x\\right)=\\operatorname{arccoth}\\left(\\csc x\\right).\\]",
"math_inputtex_semantic" : "\\wf{Q11348}{\\aGudermannian}@{\\w{Q12916}{x}} = \\ln@@{\\tan@{\\tfrac{1}{2}x+\\tfrac{1}{4} \\cpi}}",
"correct_tex" : "{\\operatorname{gd}^{-1}}\\left(x\\right)=\\ln\\tan\\left(\\tfrac{1}{2}x+\\tfrac{1}{4}\\pi\\right)",
"correct_mml" : "<math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" id=\"p1.1.m1.1\" class=\"ltx_Math\" alttext=\"\\aGudermannian@{x}=\\ln@{\\tan@{\\tfrac{1}{2}x+\\tfrac{1}{4}\\cpi}}\" display=\"inline\">\n <semantics id=\"p1.1.m1.1a\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.4.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.7.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <msup id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\">gd</mi>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.4.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.4.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </msup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.7.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.7.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">(</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.1.5.cmml\">x</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.2.cmml\">=</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.5\" xref=\"p1.1.m1.1.3.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml\">ln</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.5a\" xref=\"p1.1.m1.1.3.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.7.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.2.1.1.cmml\">tan</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.7.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.7.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.1.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.6\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.6.cmml\">\n <mfrac id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1.2.cmml\">1</mn>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1.3.cmml\">2</mn>\n </mfrac>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.6.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.6.1.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.2.cmml\">x</mi>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.3.cmml\">+</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.7\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.7.cmml\">\n <mfrac id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4.2.cmml\">1</mn>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4.3.cmml\">4</mn>\n </mfrac>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.7.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.7.1.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.5.2\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.5.1.cmml\">π</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <annotation-xml encoding=\"MathML-Content\" id=\"p1.1.m1.1b\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.7.2\">\n <csymbol cd=\"dlmf\" id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3\">inverse-Gudermannian</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.5.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.5\">Q12916</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.5\">\n <ln id=\"p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.2.1.2\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.7.2\">\n <tan id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.2.1.2\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5\">\n <plus id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.3\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.6\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.6.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.6.1\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1\">\n <divide id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1\"/>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1.2\">1</cn>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.1.3\">2</cn>\n </apply>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.2\">Q12916</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.7.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.7\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.7.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.7.1\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4\">\n <divide id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4\"/>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4.2\">1</cn>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.4.3\">4</cn>\n </apply>\n <pi id=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.5.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.4.1.5.5.2\"/>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n </annotation-xml>\n </semantics>\n</math>",
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"title" : "DLMF:_4.23_Inverse_Trigonometric_Functions",
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