data/154.json
{
"definitions" : {
"z" : [ {
"Q11567" : "complex number",
"Q50701" : "variable"
} ],
"t" : [ {
"Q12916" : "real number",
"Q50701" : "variable"
} ]
},
"constraints" : [ ],
"math_inputtex" : "\\[\\operatorname{Ln}\\Gamma\\left(z\\right)=\\left(z-\\tfrac{1}{2}\\right)\\ln z-z+%\n\\tfrac{1}{2}\\ln\\left(2\\pi\\right)+2\\int_{0}^{\\infty}\\frac{\\operatorname{arctan}%\n\\left(t/z\\right)}{e^{2\\pi t}-1}\\mathrm{d}t,\\]",
"math_inputtex_semantic" : "\\wf{Q11348}{\\Ln}@@{\\wf{Q190573}{\\EulerGamma}@{\\w{Q11567}{z}}} = \\left( z - \\tfrac{1}{2} \\right) \\ln@@{z} - z + \\tfrac{1}{2} \\ln@{2\\cpi} + 2 \\int_0^\\infty \\frac{\\atan@{\\ifrac{\\w{Q12916}{t}}{z}}}{\\expe^{2 \\cpi t} - 1} \\diff{t},",
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"correct_mml" : "<math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" id=\"p1.1.m1.1\" class=\"ltx_Math\" alttext=\"\\Ln@{\\EulerGamma@{z}}=\\left(z-\\tfrac{1}{2}\\right)\\ln@{z}-z+\\tfrac{1}{2}\\ln@{2% \\pi}+2\\int_{0}^{\\infty}\\frac{\\atan@{\\ifrac{t}{z}}}{e^{2\\pi t}-1}\\diff{t},\" display=\"inline\">\n <semantics id=\"p1.1.m1.1a\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.22\" xref=\"p1.1.m1.1.22.2.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.22.2\" xref=\"p1.1.m1.1.22.2.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\">Ln</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.5a\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.4.1.8.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml\">\n <mpadded width=\"-1.7pt\" id=\"p1.1.m1.1.1.4.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml\">\n <mi mathvariant=\"normal\" id=\"p1.1.m1.1.1.4.1.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.1.2.1.1.cmml\">Γ</mi>\n </mpadded>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.4.1.8.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow 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xref=\"p1.1.m1.1.6.2.cmml\">1</mn>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.6.3\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.cmml\">2</mn>\n </mfrac>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.22.2.1.1.1.2.2.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.22.2.1.1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.22.2.1.1.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.8.5\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.8.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml\">ln</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.8.5a\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.8.4\" xref=\"p1.1.m1.1.8.4.cmml\">z</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.9\" xref=\"p1.1.m1.1.9.cmml\">-</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.10\" xref=\"p1.1.m1.1.10.cmml\">z</mi>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.11\" xref=\"p1.1.m1.1.11.cmml\">+</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.22.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.22.2.1.2.cmml\">\n <mfrac id=\"p1.1.m1.1.12\" xref=\"p1.1.m1.1.12.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.12.2\" xref=\"p1.1.m1.1.12.2.cmml\">1</mn>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.12.3\" xref=\"p1.1.m1.1.12.3.cmml\">2</mn>\n </mfrac>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.22.2.1.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.22.2.1.2.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.13.8.2\" xref=\"p1.1.m1.1.13.1.cmml\">\n <mpadded width=\"-1.7pt\" id=\"p1.1.m1.1.13.2\" xref=\"p1.1.m1.1.13.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.13.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml\">ln</mi>\n </mpadded>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.13.8.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.13.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.13.8.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.13.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.13.5\" xref=\"p1.1.m1.1.13.1.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.13.6\" xref=\"p1.1.m1.1.13.6.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.13.6.1\" xref=\"p1.1.m1.1.13.6.1.cmml\">2</mn>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.13.6.3\" xref=\"p1.1.m1.1.13.6.3.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.13.6.2\" xref=\"p1.1.m1.1.13.6.2.cmml\">π</mi>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.13.7\" xref=\"p1.1.m1.1.13.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.11a\" xref=\"p1.1.m1.1.11.cmml\">+</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.22.2.1.3\" 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id=\"p1.1.m1.1.19.2.1.8.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.19.2.1.8.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.19.2.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.19.2.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.1.6.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.19.2.1.6.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.1.6.1.2.cmml\">t</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.19.2.1.6.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.1.6.1.1.cmml\">/</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.19.2.1.6.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.1.6.1.3.cmml\">z</mi>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.19.2.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.19.3\" xref=\"p1.1.m1.1.19.3.cmml\">\n <msup id=\"p1.1.m1.1.19.3.5\" xref=\"p1.1.m1.1.19.3.5.cmml\">\n <mi mathvariant=\"normal\" id=\"p1.1.m1.1.19.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.19.3.1.cmml\">e</mi>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1.1.cmml\">2</mn>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1.4.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1.2.cmml\">π</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1.4a\" xref=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1.4.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.19.3.2.1.3.cmml\">t</mi>\n </mrow>\n </msup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.19.3.3\" xref=\"p1.1.m1.1.19.3.3.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.19.3.4\" xref=\"p1.1.m1.1.19.3.4.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </mfrac>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.22.2.1.3.2.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.22.2.1.3.2.2.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.20.2\" xref=\"p1.1.m1.1.20.1.cmml\">\n <mo rspace=\"0.8pt\" id=\"p1.1.m1.1.20.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.20.1.1.cmml\">d</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.20.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.20.2.2.cmml\">t</mi>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.21\" xref=\"p1.1.m1.1.22.2.cmml\">,</mo>\n </mrow>\n <annotation-xml encoding=\"MathML-Content\" id=\"p1.1.m1.1b\">\n <apply 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