data/179.json
{
"definitions" : {
"n" : [ {
"Q44917388" : "index of summation",
"Q28920044" : "positive integer"
} ],
"f(n)" : [ {
"Q5156533" : "completely multiplicative function",
"Q1048447" : "multiplicative function",
"Q11348" : "function"
} ],
"p" : [ "index of multiplication", {
"Q49008" : "prime number"
} ]
},
"constraints" : [ ],
"math_inputtex" : "\\[\\sum_{n=1}^{\\infty}f(n)=\\prod_{p}(1-f(p))^{-1}.\\]",
"math_inputtex_semantic" : "\\Sum{\\w{Q28920044}{n}}{1}{\\infty}@{\\wf{Q5156533}{f}(n)} = \\prod_{\\w{Q49008}{p}} (1 - f(p))^{-1}",
"correct_tex" : "\\sum_{n=1}^{\\infty}f(n)=\\prod_{p}(1-f(p))^{-1}",
"correct_mml" : "<math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" id=\"p1.1.m1.1\" class=\"ltx_Math\" alttext=\"\\Sum{n}{1}{\\infty}@{f(n)}=\\prod_{p}(1-f(p))^{-1}\" display=\"inline\">\n <semantics id=\"p1.1.m1.1a\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.14\" xref=\"p1.1.m1.1.14.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\">\n <msubsup id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\">\n <mo largeop=\"true\" symmetric=\"true\" id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml\">∑</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.1.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml\">=</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n <mi mathvariant=\"normal\" id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.4.1.cmml\">∞</mi>\n </msubsup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.5a\" xref=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.4.6\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.5.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.1.cmml\">f</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1.4.6a\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.5.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.1.4.6.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.5.cmml\">\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.1.4.2\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.5.cmml\">(</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1.4.3\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.3.cmml\">n</mi>\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.1.4.4\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.5.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.2.cmml\">=</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.14.1\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.14.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.1.cmml\">\n <mo largeop=\"true\" symmetric=\"true\" id=\"p1.1.m1.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.cmml\">∏</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1.cmml\">p</mi>\n </msub>\n <msup id=\"p1.1.m1.1.14.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.cmml\">\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.6.cmml\">1</mn>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.7.cmml\">-</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.1.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.8\" xref=\"p1.1.m1.1.8.cmml\">f</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.1.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.1.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.1.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.1.1.cmml\">\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.9\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.1.1.cmml\">(</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.10\" xref=\"p1.1.m1.1.10.cmml\">p</mi>\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.11\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.12\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.13.1\" xref=\"p1.1.m1.1.13.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.13.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.13.1.1.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.13.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.13.1.2.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </msup>\n </mrow>\n </mrow>\n <annotation-xml encoding=\"MathML-Content\" id=\"p1.1.m1.1b\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.14.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.14\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.5\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.6\">\n <csymbol cd=\"dlmf\" id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.2\">semantic-sum</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.1\">Q28920044</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.3\">1</cn>\n <infinity id=\"p1.1.m1.1.1.2.1.4.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.2.1.4.1\"/>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.1.4.5.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.6\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.4.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.1\">Q5156533</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.4.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1.4.3\">Q28920044</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.14.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.14.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.1\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.14.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.1\">subscript</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3\">product</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.4.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4.1\">Q49008</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.14.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2\">\n <power xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.7.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.7\"/>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6\">1</cn>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.14.1.2.2.2.1.1.cmml\" 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"uri" : "http://dlmf.nist.gov/27.4#E2",
"title" : "DLMF:_27.4_Euler_Products_and_Dirichlet_Series",
"type" : "equation"
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