data/245.json
{
"definitions" : {
"F_{n+1}" : [ {
"Q47577" : "Fibonacci number"
} ],
"n" : [ {
"Q2303886" : "index",
"Q28920044" : "positive integer"
} ],
"n+1" : [ {
"Q2303886" : "index"
} ],
"k" : [ {
"Q21199" : "natural number (numbers used for counting and ordering)"
} ]
},
"constraints" : [ ],
"math_inputtex" : "F_{n+1}=\\sum_{k\\leq n}\\binom{n-k}{k},\\quad n\\geq 0.",
"math_inputtex_semantic" : "\\w{Q47577}{F}_{\\w{Q28920044}{n}+1} = \\sum_{\\w{Q21199}{k} \\leq n} \\wf{Q209875}{\\binom{n-k}{k}},\\quad n\\geq 0",
"correct_tex" : "F_{n+1}=\\sum_{k\\leq n}\\binom{n-k}{k},\\quad n\\geq 0",
"correct_mml" : "<math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" id=\"p1.1.m1.1\" class=\"ltx_Math\" alttext=\"F_{n+1}=\\sum_{k\\leq n}\\binom{n-k}{k},\\quad n\\geq 0\" display=\"inline\">\n <semantics id=\"p1.1.m1.1a\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.12\" xref=\"p1.1.m1.1.12.1.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.12.2\" xref=\"p1.1.m1.1.12.2.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.12.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.12.2.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.cmml\">F</mi>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.2.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1.1.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1.2.cmml\">+</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.2.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </msub>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.3.cmml\">=</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.12.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.12.2.2.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.12.2.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.12.2.2.1.cmml\">\n <mo largeop=\"true\" symmetric=\"true\" id=\"p1.1.m1.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.4.cmml\">∑</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.5.1\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.5.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.1.cmml\">k</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.2.cmml\">≤</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.5.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.3.cmml\">n</mi>\n </mrow>\n </msub>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.5\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.2\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.1.cmml\">(</mo>\n <mfrac linethickness=\"0pt\" id=\"p1.1.m1.1.6.3\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.3.2\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.1.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.2.cmml\">-</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.3.cmml\">k</mi>\n </mrow>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.6.3.3\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.3.cmml\">k</mi>\n </mfrac>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.4\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo rspace=\"12.5pt\" id=\"p1.1.m1.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.12.1a.cmml\">,</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.12.3\" xref=\"p1.1.m1.1.12.3.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.9\" xref=\"p1.1.m1.1.9.cmml\">n</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.10\" xref=\"p1.1.m1.1.10.cmml\">≥</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.11\" xref=\"p1.1.m1.1.11.cmml\">0</mn>\n </mrow>\n </mrow>\n <annotation-xml encoding=\"MathML-Content\" id=\"p1.1.m1.1b\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.12.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.12\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.12.1a.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.7\">formulae-sequence</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.12.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.12.2\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.12.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.12.2.1\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.12.2.1\">subscript</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1\">Q47577</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1\">\n <plus id=\"p1.1.m1.1.2.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1.1\">Q28920044</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.2.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1.3\">1</cn>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.12.2.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.12.2.2\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.12.2.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.12.2.2.1\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.12.2.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.12.2.2.1\">subscript</csymbol>\n <sum id=\"p1.1.m1.1.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.5.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1\">\n <leq id=\"p1.1.m1.1.5.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.5.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.1\">Q21199</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.5.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5.1.3\">Q28920044</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.5\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2\">binomial</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.1\">Q28920044</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.3\">Q21199</csymbol>\n </apply>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.3.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.3\">Q21199</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.12.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.12.3\">\n <geq id=\"p1.1.m1.1.10.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.9.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.9\">Q28920044</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.11.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.11\">0</cn>\n </apply>\n </apply>\n </annotation-xml>\n <annotation encoding=\"application/x-tex\" id=\"p1.1.m1.1c\">F_{n+1}=\\sum_{k\\leq n}\\binom{n-k}{k},\\quad n\\geq 0</annotation>\n </semantics>\n</math>",
"uri" : "https://arxiv.org/abs/math/0405591",
"title" : "Binomial summation formula for Fibonacci Context 1",
"comment" : "",
"type" : "definition",
"ntcir12-type" : "16",
"formula" : "1_3.2",
"page" : "1",
"ntcir12-relevance" : "4"
}