data/260.json
{
"definitions" : {
"H^{*}" : [ "product-of-the-hooks-length of the shifted diagram", { } ],
"\\lambda" : [ {
"Q1082910" : "Partition"
} ],
"\\tilde{\\lambda}" : [ "double of the strict partition \\lambda", {
"Q1082910" : "Partition"
} ],
"H_{\\tilde{\\lambda}}}" : [ "product-of-the-hooks-length of diagram", { } ],
"i" : [ {
"Q2303886" : "index"
} ],
"j" : [ {
"Q2303886" : "index"
} ],
"k" : [ "length of the partition", {
"Q21199" : "natural number (numbers used for counting and ordering)"
} ],
"n_{i}" : [ "part of partition", {
"Q28920052" : "non-negative integer"
} ],
"n_{j}" : [ "part of partition", {
"Q28920052" : "non-negative integer"
} ],
"s_{\\tilde{\\lambda}}" : [ {
"Q4298935" : "Schur polynomial"
} ],
"Q_{\\lambda}" : [ "Projective Schur function", { } ]
},
"constraints" : [ "n_{i} \\in \\lambda", "n_{j} \\in \\lambda", "2^{-\\frac k2}Q_{{\\lambda}}\\left(\\frac{{\\bf t} }{2}\\right)= \\sqrt{s_{{\\tilde \\lambda}}({\\bf t} )}", "\\frac{{\\bf t}_\\infty}{2}=(\\frac 12,0,0,0,\\dots)" ],
"math_inputtex" : "H^{*}_{\\lambda}=\\left(\\prod_{i=1}^{k}n_{i}!\\right)\\prod_{i<j}\\frac{n_{i}+n_{j}% }{n_{i}-n_{j}}=2^{-\\frac{k}{2}}\\sqrt{H_{\\tilde{\\lambda}}},\\quad\\frac{1}{\\sqrt{% H_{\\tilde{\\lambda}}}}=\\sqrt{s_{\\tilde{\\lambda}}({\\bf t}_{\\infty})}=2^{-\\frac{k% }{2}}Q_{\\lambda}(\\frac{{\\bf t}_{\\infty}}{2}),",
"math_inputtex_semantic" : "\\wf{Q120976}{H}^{*}_{\\w{Q1082910}{\\lambda}} = \\left(\\prod_{\\w{Q21199}{i}=1}^{\\w{Q21199}{k}}\\w{Q28920052}{n}_{i}!\\right)\\prod_{i<\\w{Q21199}{j}} \\frac{n_{i}+n_{j}}{n_{i}-n_{j}} = 2^{-\\frac{k}{2}}\\sqrt{H_{\\tilde{\\lambda}}}",
"correct_tex" : "H^{*}_{\\lambda}=\\left(\\prod_{i=1}^{k}n_{i}!\\right)\\prod_{i<j}\\frac{n_{i}+n_{j}}{n_{i}-n_{j}}=2^{-\\frac{k}{2}}\\sqrt{H_{\\tilde{\\lambda}}},\\quad\\frac{1}{\\sqrt{H_{\\tilde{\\lambda}}}}=\\sqrt{s_{\\tilde{\\lambda}}({\\bf t}_{\\infty})}=2^{-\\frac{k}{2}}Q_{\\lambda}(\\frac{{\\bf t}_{\\infty}}{2})",
"correct_mml" : "<math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" id=\"p1.1.m1.1\" class=\"ltx_Math\" alttext=\"H^{*}_{\\lambda}=\\left(\\prod_{i=1}^{k}n_{i}!\\right)\\prod_{i<j}\\frac{n_{i}+n_{j}% }{n_{i}-n_{j}}=2^{-\\frac{k}{2}}\\sqrt{H_{\\tilde{\\lambda}}}\" display=\"inline\">\n <semantics id=\"p1.1.m1.1a\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.20\" xref=\"p1.1.m1.1.20.cmml\">\n <msubsup id=\"p1.1.m1.1.20.2\" xref=\"p1.1.m1.1.20.2.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.1.cmml\">H</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.3.1.cmml\">λ</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1.cmml\">*</mo>\n </msubsup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.4.cmml\">=</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.20.3\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.20.3.2\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.cmml\">\n <msubsup id=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.1.cmml\">\n <mo largeop=\"true\" symmetric=\"true\" id=\"p1.1.m1.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.6.cmml\">∏</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.7.1\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.7.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.1.cmml\">i</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.7.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.2.cmml\">=</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.7.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.3.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.8.1\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1.cmml\">k</mi>\n </msubsup>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.2.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.2.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.9\" xref=\"p1.1.m1.1.9.cmml\">n</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.10.1\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1.cmml\">i</mi>\n </msub>\n <mo lspace=\"0pt\" rspace=\"3.5pt\" id=\"p1.1.m1.1.11\" xref=\"p1.1.m1.1.11.cmml\">!</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.12\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.20.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.1.cmml\"></mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.20.3.3\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.3.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.20.3.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.3.1.cmml\">\n <mo largeop=\"true\" symmetric=\"true\" id=\"p1.1.m1.1.13\" xref=\"p1.1.m1.1.13.cmml\">∏</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.14.1\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.14.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.1.cmml\">i</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.14.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2.cmml\"><</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.14.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.3.cmml\">j</mi>\n </mrow>\n </msub>\n <mfrac id=\"p1.1.m1.1.15\" xref=\"p1.1.m1.1.15.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.15.2\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.15.2.6\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.6.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.15.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.1.cmml\">n</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.15.2.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.2.1.cmml\">i</mi>\n </msub>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.15.2.3\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.3.cmml\">+</mo>\n <msub id=\"p1.1.m1.1.15.2.7\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.7.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.15.2.4\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.4.cmml\">n</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.15.2.5.1\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.5.1.cmml\">j</mi>\n </msub>\n </mrow>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.15.3\" xref=\"p1.1.m1.1.15.3.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.15.3.6\" xref=\"p1.1.m1.1.15.3.6.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.15.3.1\" xref=\"p1.1.m1.1.15.3.1.cmml\">n</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.15.3.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.15.3.2.1.cmml\">i</mi>\n </msub>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.15.3.3\" xref=\"p1.1.m1.1.15.3.3.cmml\">-</mo>\n <msub id=\"p1.1.m1.1.15.3.7\" xref=\"p1.1.m1.1.15.3.7.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.15.3.4\" xref=\"p1.1.m1.1.15.3.4.cmml\">n</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.15.3.5.1\" xref=\"p1.1.m1.1.15.3.5.1.cmml\">j</mi>\n </msub>\n </mrow>\n </mfrac>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.16\" xref=\"p1.1.m1.1.16.cmml\">=</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.20.4\" xref=\"p1.1.m1.1.20.4.cmml\">\n <msup id=\"p1.1.m1.1.20.4.2\" xref=\"p1.1.m1.1.20.4.2.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.17\" xref=\"p1.1.m1.1.17.cmml\">2</mn>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.18.1\" xref=\"p1.1.m1.1.18.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.18.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.18.1.1.cmml\">-</mo>\n <mfrac id=\"p1.1.m1.1.18.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.18.1.2.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.18.1.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.18.1.2.2.cmml\">k</mi>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.18.1.2.3\" xref=\"p1.1.m1.1.18.1.2.3.cmml\">2</mn>\n </mfrac>\n </mrow>\n </msup>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.20.4.1\" xref=\"p1.1.m1.1.20.4.1.cmml\"></mo>\n <msqrt id=\"p1.1.m1.1.19\" xref=\"p1.1.m1.1.19.cmml\">\n <msub id=\"p1.1.m1.1.19.2\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.19.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.1.cmml\">H</mi>\n <mover accent=\"true\" id=\"p1.1.m1.1.19.2.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.2.1.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.19.2.2.1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.2.1.1.2.cmml\">λ</mi>\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.19.2.2.1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.19.2.2.1.1.1.cmml\">~</mo>\n </mover>\n </msub>\n </msqrt>\n </mrow>\n </mrow>\n <annotation-xml encoding=\"MathML-Content\" id=\"p1.1.m1.1b\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20\">\n <and id=\"p1.1.m1.1.20a.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20b.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.2\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.20.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.2\">subscript</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20.2.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.2\">\n <power xref=\"p1.1.m1.1.20.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.1\">Q120976</csymbol>\n <times id=\"p1.1.m1.1.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2.1\"/>\n </apply>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.3.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.3.1\">Q1082910</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.20.3.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.1\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.1\">\n <power xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.1\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.1\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.1.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.1\">subscript</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6\">product</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.7.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.7.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.1\">Q21199</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.7.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.3\">1</cn>\n </apply>\n </apply>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.8.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1\">Q21199</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.2\">\n <factorial id=\"p1.1.m1.1.11.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.11\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.2.1\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.2.2.2.1\">subscript</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.9.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.9\">Q28920052</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.10.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.10.1\">Q21199</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20.3.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.3\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.20.3.3.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.3.1\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.20.3.3.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.20.3.3.1\">subscript</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.13.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.13\">product</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.14.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1\">\n <lt id=\"p1.1.m1.1.14.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.2\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.14.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.1\">Q21199</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.14.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.14.1.3\">Q21199</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.15.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15\">\n <divide id=\"p1.1.m1.1.15.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.15.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2\">\n <plus id=\"p1.1.m1.1.15.2.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.3\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.15.2.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.6\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.15.2.6.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.6\">subscript</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.15.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.1\">Q28920052</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.15.2.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.2.1\">Q21199</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.15.2.7.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.7\">\n <csymbol cd=\"ambiguous\" id=\"p1.1.m1.1.15.2.7.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.7\">subscript</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.15.2.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.15.2.4\">Q28920052</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" 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