data/292.json
{
"constraints" : [ ],
"math_inputtex" : "\\left(\\frac{a}{p}\\right) = \\begin{cases} 1 & \\text{ if } a \\text{ is a quadratic residue modulo } p \\text{ and } a \\not\\equiv 0\\pmod{p}, \\\\ -1 & \\text{ if } a \\text{ is a quadratic non-residue modulo } p, \\\\ 0 & \\text{ if } a \\equiv 0 \\pmod{p}. \\end{cases}",
"math_inputtex_semantic" : "\\left(\\frac{\\w{Q878259}{a}}{\\w{Q49008}{p}}\\right) = \\begin{cases} 1 & \\text{ if } a \\text{ is a quadratic residue modulo } p \\text{ and } a \\not\\equiv 0\\pmod{p}, \\\\ -1 & \\text{ if } a \\text{ is a quadratic non-residue modulo } p, \\\\ 0 & \\text{ if } a \\equiv 0 \\pmod{p}. \\end{cases}",
"correct_tex" : "\\left(\\frac{a}{p}\\right) = \\begin{cases} 1 & \\text{ if } a \\text{ is a quadratic residue modulo } p \\text{ and } a \\not\\equiv 0\\pmod{p}, \\\\ -1 & \\text{ if } a \\text{ is a quadratic non-residue modulo } p, \\\\ 0 & \\text{ if } a \\equiv 0 \\pmod{p}. \\end{cases}",
"correct_mml" : "<math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" id=\"p1.1.m1.1\" class=\"ltx_Math\" alttext=\"\\left(\\frac{a}{p}\\right)=\\begin{cases}1&\\text{ if }a\\text{ is a quadratic % residue modulo }p\\text{ and }a\\not\\equiv 0\\pmod{p},\\\\ -1&\\text{ if }a\\text{ is a quadratic non-residue modulo }p,\\\\ 0&\\text{ if }a\\equiv 0\\pmod{p}.\\end{cases}\" display=\"inline\">\n <semantics id=\"p1.1.m1.1a\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.8\" xref=\"p1.1.m1.1.8.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.8.1\" xref=\"p1.1.m1.1.2.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.2.cmml\">(</mo>\n <mfrac id=\"p1.1.m1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.2.cmml\">\n <mi id=\"p1.1.m1.1.2.2\" xref=\"p1.1.m1.1.2.2.cmml\">a</mi>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.2.3\" xref=\"p1.1.m1.1.2.3.cmml\">p</mi>\n </mfrac>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.2.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.4.cmml\">=</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.5\" 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id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.3.cmml\"> is a quadratic residue modulo </mtext>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1b\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.4.cmml\">p</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1c\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1.cmml\"></mo>\n <mtext id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.5.cmml\"> and </mtext>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1d\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.6.cmml\">a</mi>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.8\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.8.cmml\">≢</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.9\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.9.cmml\">0</mn>\n <mspace width=\"veryverythickmathspace\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2.cmml\"/>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.10\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.cmml\">\n <mo lspace=\"8.1pt\" stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.4\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.1.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.10.2\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.7\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.1.cmml\">mod</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.8\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.8.cmml\">p</mi>\n </mrow>\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.9\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.11\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.cmml\">,</mo>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr id=\"p1.1.m1.1.6d\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\">\n <mtd columnalign=\"left\" id=\"p1.1.m1.1.6e\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1.1.cmml\">-</mo>\n <mn id=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1.2.cmml\">1</mn>\n </mrow>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"left\" id=\"p1.1.m1.1.6f\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.cmml\">\n <mtext id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.1.cmml\"> if </mtext>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.2.cmml\">a</mi>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1a\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1.cmml\"></mo>\n <mtext id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.3.cmml\"> is a quadratic non-residue modulo </mtext>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1b\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.4.cmml\">p</mi>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.5\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.cmml\">,</mo>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n <mtr id=\"p1.1.m1.1.6g\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\">\n <mtd columnalign=\"left\" id=\"p1.1.m1.1.6h\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.6.3.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml\">0</mn>\n </mtd>\n <mtd columnalign=\"left\" id=\"p1.1.m1.1.6i\" xref=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.cmml\">\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1.cmml\">\n <mtext id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.1.cmml\"> if </mtext>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1.1\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1.1.cmml\"></mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.2\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.2.cmml\">a</mi>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.3\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.3.cmml\">≡</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2.cmml\">\n <mn id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.4\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.4.cmml\">0</mn>\n <mspace width=\"veryverythickmathspace\" id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2a\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2.cmml\"/>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.10\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.cmml\">\n <mo lspace=\"8.1pt\" stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.4\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.1.cmml\">(</mo>\n <mrow id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.10.2\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.cmml\">\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.7\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.1.cmml\">mod</mo>\n <mi id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.8\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.8.cmml\">p</mi>\n </mrow>\n <mo stretchy=\"false\" id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.9\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.1.cmml\">)</mo>\n </mrow>\n </mrow>\n </mrow>\n <mo id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.6\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.cmml\">.</mo>\n </mrow>\n </mtd>\n </mtr>\n </mtable>\n </mrow>\n </mrow>\n <annotation-xml encoding=\"MathML-Content\" id=\"p1.1.m1.1b\">\n <apply id=\"p1.1.m1.1.8.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8\">\n <eq id=\"p1.1.m1.1.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.4\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1\">\n <divide id=\"p1.1.m1.1.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.8.1\"/>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.2.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2.2\">Q878259</csymbol>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.2.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.2.3\">Q49008</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.7.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.7\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.7.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.5\">cases</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.1.1\">1</cn>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.8.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.8\">not-equivalent-to</csymbol>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.1.1\"/>\n <mtext id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.1\"> if </mtext>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.2\">Q878259</csymbol>\n <mtext id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.3\"> is a quadratic residue modulo </mtext>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.4\">Q49008</csymbol>\n <mtext id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.5.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.5\"> and </mtext>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.6.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.6\">Q878259</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.13.2\">annotated</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.9.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.9\">0</cn>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.10\">\n <ci id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.4\">pmod</ci>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.8.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.1.2.1.10.8\">Q49008</csymbol>\n </apply>\n </apply>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1\">\n <minus id=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1.1\"/>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.1.1.2\">1</cn>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.7.1\"/>\n <mtext id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.1\"> if </mtext>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.2\">Q878259</csymbol>\n <mtext id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.3\"> is a quadratic non-residue modulo </mtext>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.2.2.1.4\">Q49008</csymbol>\n </apply>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.1.1\">0</cn>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1\">\n <equivalent id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.3.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.3\"/>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1\">\n <times id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.1.1\"/>\n <mtext id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.1\"> if </mtext>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.2\">Q878259</csymbol>\n </apply>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2\">\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.8.2\">annotated</csymbol>\n <cn type=\"integer\" id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.4.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.4\">0</cn>\n <apply id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.10\">\n <ci id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.1.1.cmml\" xref=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.4\">pmod</ci>\n <csymbol cd=\"latexml\" id=\"p1.1.m1.1.6.3.2.1.5.8.cmml\" 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"uri" : "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Legendre_symbol&oldid=805985930",
"title" : "Legendre symbol",
"comment" : "NTCIR 12 wiki topic 12\na is quadratic NONresidue if not congruent to a perfect square modulo p (cases)",
"type" : "definition"
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