ag-gipp/GoUldI

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<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="\underbrace{u_{1}(\mathbf{x},z_{1})=v_{1}+\dot{u}_{x}}_{\text{By definition of%&#10; }v_{1}}=\overbrace{-\frac{\partial V_{x}}{\partial\mathbf{x}}g_{x}(\mathbf{x}%&#10;)-k_{1}(\underbrace{z_{1}-u_{x}(\mathbf{x})}_{e_{1}})}^{v_{1}}\,+\,\overbrace{%&#10;\frac{\partial u_{x}}{\partial\mathbf{x}}(\underbrace{f_{x}(\mathbf{x})+g_{x}(%&#10;\mathbf{x})z_{1}}_{\dot{\mathbf{x}}\text{ (i.e., }\frac{\operatorname{d}%&#10;\mathbf{x}}{\operatorname{d}t}\text{)}})}^{\dot{u}_{x}\text{ (i.e., }\frac{%&#10;\operatorname{d}u_{x}}{\operatorname{d}t}\text{)}}" display="inline">
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                          </mrow>
                        </mrow>
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              <mfrac id="p1.1.m1.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.cmml">
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.1.cmml">โˆ‚</mo>
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.cmml">โก</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.4.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.2.cmml">u</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.3.1.cmml">x</mi>
                  </msub>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.cmml">
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1.cmml">โˆ‚</mo>
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9.2.1.3a" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.cmml">โก</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2.cmml">๐ฑ</mi>
                </mrow>
              </mfrac>
              <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9.2.6" xref="p1.1.m1.1.9.2.6.cmml">โข</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.7" xref="p1.1.m1.1.9.2.7.2.cmml">
                <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.7.2.cmml">(</mo>
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                      <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.14" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.14.cmml">
                        <msub id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.14.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.14.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.1.cmml">f</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.2.1.cmml">x</mi>
                        </msub>
                        <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.14.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.14.1.cmml">โข</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.14.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.14.cmml">
                          <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.14.cmml">(</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.4.cmml">๐ฑ</mi>
                          <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.14.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.6.cmml">+</mo>
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                        </msub>
                        <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.15.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.15.1.cmml">โข</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.15.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.15.cmml">
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                          <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.11" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.15.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.15.1a" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.15.1.cmml">โข</mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.15.4" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.15.4.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.12" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.12.cmml">z</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.9.2.3.2.13.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.2.13.1.cmml">1</mn>
                        </msub>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.1.cmml">โŸ</mo>
                  </munder>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.4.1.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.9.2.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.4.1.1.cmml">
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                    </mover>
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                    <mtext id="p1.1.m1.1.9.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.4.1.2.cmml">ย (i.e.,ย </mtext>
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                    <mfrac id="p1.1.m1.1.9.2.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.4.1.3.cmml">
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                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9.2.4.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.4.1.3.2.1.cmml">d</mi>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.9.2.4.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.4.1.3.2.2.cmml">๐ฑ</mi>
                      </mrow>
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                      </mrow>
                    </mfrac>
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                  </mrow>
                </munder>
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            </mrow>
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            <msub id="p1.1.m1.1.10.1.7" xref="p1.1.m1.1.10.1.7.cmml">
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            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.10.1.6" xref="p1.1.m1.1.10.1.6.cmml">โข</mo>
            <mtext id="p1.1.m1.1.10.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.1.3.cmml">ย (i.e.,ย </mtext>
            <mo id="p1.1.m1.1.10.1.6a" xref="p1.1.m1.1.10.1.6.cmml">โข</mo>
            <mfrac id="p1.1.m1.1.10.1.4" xref="p1.1.m1.1.10.1.4.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.10.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.4.2.cmml">
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                  <mi id="p1.1.m1.1.10.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.4.2.2.cmml">u</mi>
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                </msub>
              </mrow>
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              </mrow>
            </mfrac>
            <mo id="p1.1.m1.1.10.1.6b" xref="p1.1.m1.1.10.1.6.cmml">โข</mo>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.15.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.15.3.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.6">๐‘ง</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.7.1">1</cn>
                  </apply>
                </interval>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.16">
                <plus id="p1.1.m1.1.1.2.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.12"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.16.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.16.1">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.10">๐‘ฃ</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.11.1">1</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.16.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.16.2">subscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.13">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.13.1">ห™</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.13.2">๐‘ข</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.14.1">๐‘ฅ</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">
            <times id="p1.1.m1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.4"/>
            <mtext id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">
              <span xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" class="ltx_text" style="font-size:70%;">By definition ofย </span>
            </mtext>
            <apply id="p1.1.m1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.5">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.5">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.2">๐‘ฃ</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.1">1</cn>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2">
          <plus id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.1">superscript</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">
              <ci id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1">โž</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2">
                <minus id="p1.1.m1.1.4.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.8"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.4.2.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.15">
                  <minus id="p1.1.m1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.4.2.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.15.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.4.2.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.15.1.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2">
                      <divide id="p1.1.m1.1.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.4.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.2">
                        <partialdiff id="p1.1.m1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.2.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.4.2.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.2.4">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.2.2.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.2.4">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.2.2">๐‘‰</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.2.3.1">๐‘ฅ</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.4.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.3">
                        <partialdiff id="p1.1.m1.1.4.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.3.1"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.4.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.3.2">๐ฑ</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.4.2.15.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.15.1.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.2.15.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.15.1.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.3">๐‘”</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.4.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.1">๐‘ฅ</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.4.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.6">๐ฑ</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.4.2.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.16">
                  <times id="p1.1.m1.1.4.2.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.16.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.4.2.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.16.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.2.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.16.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.4.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.9">๐‘˜</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.10.1">1</cn>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.4.2.16.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.16.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.2.16.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.16.3">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.4.2.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12">
                      <ci id="p1.1.m1.1.4.2.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.1">โŸ</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2">
                        <minus id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.3"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.9">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.9">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.1">๐‘ง</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.2.1">1</cn>
                        </apply>
                        <apply id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.10">
                          <times id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.10.1"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.10.2">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.10.2">subscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.4">๐‘ข</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.5.1">๐‘ฅ</ci>
                          </apply>
                          <ci id="p1.1.m1.1.4.2.12.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.12.2.7">๐ฑ</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.4.2.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.13.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.2.13.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.13.1">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.4.2.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.13.1.1">๐‘’</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.2.13.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.13.1.2.1">1</cn>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1">๐‘ฃ</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.1">1</cn>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.2">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.2">superscript</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">
              <ci id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1">โž</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2">
                <times id="p1.1.m1.1.9.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.6"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1">
                  <divide id="p1.1.m1.1.9.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2">
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.4">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.2">๐‘ข</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.3.1">๐‘ฅ</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2">๐ฑ</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.9.2.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.7">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.2.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.7">subscript</csymbol>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.9.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.1">โŸ</ci>
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